Virziena lauka matemātika

Virziena lauks, veids, kā grafiski attēlot pirmās kārtas diferenciālvienādojuma risinājumus, faktiski neatrisinot vienādojumu. Vienādojums y ′ = f (x, y) dod virzienu y ′, kas saistīts ar katru punktu plaknē (x, y), kas jāizpilda jebkurai risinājuma līknei, kas iet caur šo punktu. Virziena lauks tiek definēts kā mazu līniju segmentu kolekcija, kas šķērso dažādus punktus ar slīpumu, kas tajā brīdī atbildīs dotajam diferenciālvienādojumam (sk. Grafiku). Faktiskajai līkņu saimei (diferenciālvienādojuma risinājumiem) katrā virzienā jābūt virzienam, kas atbilst virziena lauka līnijas segmenta virzienam tajā brīdī,tā, ka šī metode ir vērtīga, lai iegūtu zināmu sajūtu par risinājumu izturēšanos gadījumos, kad vienādojumu ir grūti atrisināt vai kad risinājums ir sarežģīta funkcija. Bieži vien virziena lauka zīmēšanā ir noderīgi noteikt līnijas vai līknes, ko sauc par izoklīniem, uz kurām virziena lauka segmentu slīpums ir nemainīgs. Piemēram, vienādojumā y ′ = x + y slīpumam būs nemainīga vērtība k, ja k = x + y vai kad y = -x + k; tas ir, izoklīnes ir taisnas līnijas ar slīpumu -1. Pēc tam šīs līnijas var viegli ieskicēt, lai palīdzētu veidot virziena lauku (skatīt grafiku). Faktiskā risinājumu grupa šajā gadījumā ir y = aeuz kuras virziena lauka segmentu slīpums ir nemainīgs. Piemēram, vienādojumā y ′ = x + y slīpumam būs nemainīga vērtība k, ja k = x + y vai kad y = -x + k; tas ir, izoklīnes ir taisnas līnijas ar slīpumu -1. Pēc tam šīs līnijas var viegli ieskicēt, lai palīdzētu veidot virziena lauku (skatīt grafiku). Faktiskā risinājumu grupa šajā gadījumā ir y = aeuz kuras virziena lauka segmentu slīpums ir nemainīgs. Piemēram, vienādojumā y ′ = x + y slīpumam būs nemainīga vērtība k, ja k = x + y vai kad y = -x + k; tas ir, izoklīnes ir taisnas līnijas ar slīpumu -1. Pēc tam šīs līnijas var viegli ieskicēt, lai palīdzētu veidot virziena lauku (skatīt grafiku). Faktiskā risinājumu grupa šajā gadījumā ir y = ae^x - x - 1 jebkurai konstantei a, ko nosaka ar diferenciālvienādojumu metodēm.