Austrumāzijas matemātika

Lielais agrīnais periods, 1. – 7. Gadsimts

Deviņas nodaļas

Deviņās nodaļās ir vajadzīgas matemātiskas zināšanas par skaitļu attēlošanu un četru aritmētisko operāciju veikšanu - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Tajā skaitļi ir rakstīti ķīniešu burtiem, bet lielākajai daļai aprakstīto procedūru faktiskos aprēķinus paredzēts veikt uz virsmas, iespējams, uz zemes. Visticamāk, kā var secināt no vēlākiem kontiem, uz šīs virsmas vai skaitīšanas dēļa skaitļus attēloja skaitīšanas stienīši (sk. Attēlu), kas tika izmantoti pēc decimāldaļas aiz komata vērtības sistēmas. Skaitļus, ko attēlo skaitīšanas stieņi, var pārvietot un modificēt aprēķinā. Tomēr rakstiski aprēķini tika reģistrēti tikai daudz vēlāk. Kā būs redzams, aprēķinu iestatīšana ar skaitīšanas stieņiem ievērojami ietekmēja vēlākos matemātiskos sasniegumus.

Deviņās nodaļās ir ietverti vairāki matemātiski sasniegumi, jau nobriedušā formā, kurus bez būtiskām izmaiņām iesniedza lielākā daļa nākamo grāmatu. Vissvarīgākie sasniegumi ir īsi aprakstīti pārējā šajā sadaļā.

Frakciju aritmētika

Nodaļa ir centrālā darbība Deviņās nodaļās. Frakcijas tiek definētas kā dalīšanas rezultāta daļa, dividenžu atlikumu ņem par skaitītāju un dalītāju kā saucēju. Tādējādi, dalot 17 ar 5, iegūst koeficientu 3 un pārējo - 2; tas rada jaukto daudzumu 3 + 2/5. Tādējādi frakcionētās daļas vienmēr ir mazākas par vienu, un to aritmētika tiek aprakstīta, izmantojot dalījumu. Piemēram, lai iegūtu frakciju kopas summu, to uzdod

reiziniet skaitītājus ar saucējiem, kas tiem neatbilst, pievienojiet, lai iegūtu dividendes. Reiziniet saucējus visus kopā, lai iegūtu dalītāju. Veiciet dalīšanu. Ja ir atlikums, nosauciet to ar dalītāju.

Šis algoritms atbilst mūsdienu formulai a / b + c / d = (ad + bc) / bd. Frakciju kopas summa pati par sevi ir dalījuma rezultāts no formas “vesels skaitlis plus pareizā frakcija”. Visas aritmētiskās operācijas, kas saistītas ar frakcijām, ir aprakstītas līdzīgi.

Algoritmi apgabaliem un apjomiem

Deviņās nodaļās ir formulas elementārām plaknēm un vienādām figūrām, ieskaitot trijstūru, taisnstūru, trapecveida, apļu un apļu segmentus, kā arī prizmu, cilindru, piramīdu un sfēru apjomus. Visas šīs formulas ir izteiktas kā darbību saraksti, kas jāveic ar datiem, lai iegūtu rezultātu, ti, kā algoritmi. Piemēram, lai aprēķinātu apļa laukumu, tiek dots šāds algoritms: “reiziniet diametru pats, trīskāršojiet to, daliet ar četriem”. Šis algoritms izmanto 3 kā π vērtību. Komentētāji pievienoja uzlabotas π vērtības, kā arī dažus atvasinājumus. Liu Hui piešķirtajā komentārā ir aprēķinātas divas citas π tuvināšanas: viena ir nedaudz zema (157/50) un otra - augsta (3,927 / 1,250). Deviņās nodaļās ir arī pareiza apļa apgabala formula - “reizinot diametru un pusi no apkārtmēra, iegūst laukumu”, ko pierādīja Liu Hui.

Vienlaicīgu lineāru vienādojumu sistēmu risinājums

Deviņās nodaļās nodaļa tiek veltīta vienlaicīgu lineāru vienādojumu risinājumam, tas ir, attiecību starp nezināmajiem un datiem (vienādojumiem) apkopojumiem, ja nevienam no nezināmajiem lielumiem nav paaugstināta jauda, ​​kas ir lielāka par 1. Piemēram, pirmā problēma Šajā nodaļā par trīs graudu šķiru ražu jautā:

3 saišķi augstākās kvalitātes graudu, 2 saišķi vidējas kvalitātes un 1 saišķis zemas kvalitātes ražas 39 vienības graudu. 2 saišķi augstākās šķiras, 3 saišķi vidējas kvalitātes un 1 saišķis zemas kvalitātes raža 34 vienības. 1 saišķis augstākās šķiras, 2 saišķi vidējas kvalitātes un 3 saišķi zemas kvalitātes raža 26 vienības. Cik vienību veido katras graudu klases saišķis?

Procedūra trīs vienādojumu sistēmas atrisināšanai trīs nezināmos gadījumos ietver skaitļošanas virsmas datu sakārtošanu tabulas veidā, kā parādīts attēlā. Pirmā vienādojuma koeficienti ir sakārtoti pirmajā kolonnā, bet otrā un trešā vienādojuma koeficienti - otrajā un trešajā kolonnā. Līdz ar to pirmās rindas skaitļi, kas satur pirmo koeficientu katrā vienādojumā, atbilst pirmajam nezināmajam. Šis ir vietas vērtības apzīmējuma piemērs, kurā skaitļa pozīcijai skaitliskā konfigurācijā ir matemātiska nozīme. Galvenais risinājuma instruments ir kolonnu samazināšanas izmantošana (mainīgo lielumu novēršana, samazinot to koeficientus līdz nullei), lai iegūtu līdzvērtīgu konfigurāciju. Tālāk trešās rindas nezināmais tiek atrasts pa dalījumu, un līdz ar to tiek atrasta arī otrā un pirmā nezināmā. Šis algoritms rietumos ir pazīstams kā Gausa eliminācija.

Iepriekš aprakstītais algoritms lielā mērā paļaujas uz konfigurāciju, kas piešķirta datu kopai uz skaitīšanas virsmas. Tā kā procedūra nozīmē atņemšanu no vienas kolonnas uz otru, tā rada negatīvos skaitļus. Deviņās nodaļās aprakstītas detalizētas metodes aprēķināšanai ar pozitīvajiem un negatīvajiem koeficientiem, kas ļauj atrisināt problēmas, kas saistītas ar diviem līdz septiņiem nezināmajiem. Šķiet, ka tas ir pirmais negatīvo skaitļu parādīšanās matemātikas vēsturē.