Laplasa vienādojumu matemātika

Laplasa vienādojums, otrās kārtas daļējs diferenciālvienādojums, ko plaši izmanto fizikā, jo tā risinājumi R (pazīstami kā harmoniskās funkcijas) rodas elektrisko, magnētisko un gravitācijas potenciālu, līdzsvara stāvokļa temperatūras un hidrodinamikas problēmu gadījumā. Vienādojumu atklāja franču matemātiķis un astronoms Pjērs-Simons Laplass (1749–1827).

fizikālās zinātnes principi: Diverģence un Laplasa vienādojums

Ja lādiņi nav atsevišķi punkti, bet veido nepārtrauktu sadalījumu ar vietējo lādiņa blīvumu ρ, kas ir lādiņa attiecība δ

Laplasa vienādojums nosaka, ka R otrās kārtas daļēju atvasinājumu summa, kas nav zināma, attiecībā pret Dekarta koordinātām ir vienāda ar nulli:

Summu kreisajā pusē bieži attēlo ar izteicienu ∇ ² R, kurā simbolu ∇ ² sauc par Laplacian vai Laplasa operatoru.

Daudzas fiziskās sistēmas ir ērtāk aprakstītas, izmantojot sfēriskas vai cilindriskas koordinātu sistēmas. Laplasa vienādojumu var pārstrādāt šajās koordinātās; piemēram, cilindriskās koordinātēs Laplasa vienādojums ir